Une modélisation de la pandémie COVID 19.pdf



Nom original: Une modélisation de la pandémie COVID-19.pdf
Auteur: Frederic Caussarieu

Ce document au format PDF 1.7 a été généré par Microsoft® Word pour Office 365, et a été envoyé sur document-pdf.fr le 30/03/2020 à 10:01, depuis l'adresse IP 83.197.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 124 fois.
Taille du document: 1.1 Mo (30 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document


UNE TENTATIVE DE MODELISATION DE LA
PANDEMIE DU COVID-19
F.Caussarieu@trin-partners.com
Rennes le 30 mars 2020

1 ABSTRACT
Ce document décrit une tentative expérimentale de modélisation de la crise sanitaire du COVID-19.
Elle a permis à son auteur de se familiariser avec les algorithmes et équations épidémiologiques
applicables, et de rechercher l’impact des politiques de santé suivies par différents pays sur les
paramètres de la modélisation.
Il n’a pas la prétention d’effectuer une prévision réaliste, mais d’approcher des ordres de grandeur.
L’étude a permis de dégager quelques résultats :
1. Résultat 1 : Il est possible de modéliser non seulement le début d’une pandémie de type SIR,
mais également son atténuation provoquée par des mesures sanitaires (confinement,
dépistage,…)
2. Résultat 2 : Le modèle peut être ajusté au processus de santé spécifique à une pandémie de
type COVID-19 (flux infectés / hospitalisés / réanimés/ Remis ou décédés), et permet de
prévoir l’ampleur de la demande de soins sur le système de santé ;
3. Résultat 3 : le modèle peut intégrer les effets de seuil liés à la saturation des moyens de
soins (ICU’s dans le cas de COVID-19) ;
4. Résultat 4 : L’ampleur de la pandémie est très directement corrélée avec le délai de mise en
place de mesures sanitaires fortes, en l’absence de moyens médicaux efficaces (vaccins,
traitements).

1
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

5.

Table des matières
1

ABSTRACT ........................................................................................................................................ 1

2

OBJECTIF DE LA MODELISATION ..................................................................................................... 3

3

PRINCIPES DE MODELISATION UTILISES .......................................................................................... 4
3.1

Modèle SIR............................................................................................................................... 4

3.2

Introduction du principe de confinement et de palier............................................................ 5

3.3

Gestion de l’évolution de Re ou de Tau_ selon la phase de l’épidémie.................................. 6

3.4

Introduction des flux : hospitalisations, réanimations, guérison ou décès............................. 8

4

METHODE ET OUTIL DE MODELISATION ....................................................................................... 10

5

REGLAGES DU MODELE ................................................................................................................. 13
5.1

VISUALISATION DES DONNEES OFFICIELLES.......................................................................... 13

5.2

Pays précurseur : la Chine ..................................................................................................... 15

5.3

Modélisation France .............................................................................................................. 16

6

JEUX DE PARAMETRES ................................................................................................................... 20

7

PROJECTIONS ................................................................................................................................. 21

8

LIMITES DE L’EXERCICE ET POINTS D’APPROFONDISSEMENT....................................................... 23

9

REFERENCES .................................................................................................................................. 24

10

ANNEXES .................................................................................................................................... 24

2
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

2 OBJECTIF DE LA MODELISATION
J’ai utilisé cette période pour approfondir mes connaissances en modélisation, en épidémiologie, et
en connaissance de mon outil préféré de modélisation, QUANTRIX (voir www.quantrix.com), que
j’utilise habituellement en modélisation financière des business-plans des entreprises.
En faisant ce travail, je n’ai pas la prétention de faire une prévision opérationnelle exploitable, mais
de comprendre les mécanismes à l’œuvre autour de la diffusion de la maladie, l’impact des mesures
de lutte prises par certains pays, et de visualiser la sensibilité du modèle à ces mesures.

Je vais tenter de vous faire partager le parcours effectué, en espérant ainsi susciter des critiques,
suggestions, réactions, permettant d’améliorer le travail effectué.
Je me suis limité à étudier quelques pays, présentant des profils différents et complémentaires :
-

-

-

Les « précurseurs », ayant mise en œuvre une politique de confinement et de tests intensifs
dans un délai court (moins de 30 jours après le début de l’épidémie) vainqueurs de
l’épidémie, dont nous avons à apprendre car ils nous ont précédé dans l’épidémie et car ils
l’on quasiment vaincue :
o La Chine
o Le Corée du Sud
Les « pays en confinement », qui ont mis en œuvre relativement tôt (30 jours à 40 jours
après le début de l’épidémie) une politique stricte de confinement :
o Italie
o France
o Espagne
Les « pays sans confinement ou à confinement tardif » (délai de confinement supérieur à 45
jours) :
o Suisse
o UK.

Après avoir présenté les principes de modélisation, l’article présente la méthode de modélisation
implémentée, puis les réglages effectués sur le modèle numérique, dont on déduit les jeux de
paramètre du modèle.
Une tentative de projection est alors proposée, suivie d’une discussion sur les limites de cet exercice.

3
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

3 PRINCIPES DE MODELISATION UTILISES
3.1 Modèle SIR
L’approche retenue est celle d’une modélisation de type SIR, car elle est bien adaptée au phénomène
de contagion infectieuse.
L’article de François Recehenmann (11) commence ainsi : « La propagation d’un agent infectieux au
sein d’une population est un phénomène dynamique : les effectifs d’individus sains et malades
évoluent dans le temps, en fonction des contacts au cours desquels cet agent passe d’un individu
infecté à un individu sain non immunisé, l’infectant à son tour. Un tel phénomène peut être étudié en
le modélisant par des équations différentielles et en déterminant son comportement à travers la
résolution numérique de ces équations. ».

Le trigramme SIR signifie :
-

S= Sains ou « Susceptibles d’être infectés ultérieurement » (Susceptibles)
I = Infectés (Infected)
R = Rétablis (removed)

Le modèle de base est le suivant (11) :
𝑑𝐼(𝑡)
𝐼
= 𝛽 𝐼𝑆 − − 𝜇𝐼
𝑑𝑡
𝜆
avec 1/λ taux de guérison, et λ = la durée de guérison d’une personne infectée
avec µ = taux de mortalité des infectés
et
𝑑𝑆(𝑡)
= −𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝐼
𝑑𝑡
Et
𝑑𝑅(𝑡)
= 𝐼/𝜆
𝑑𝑡
Et
𝑑𝐷(𝑡)
= 𝜇𝐼
𝑑𝑡
On obtient :
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝐷(𝑡)
𝐼
𝐼
+
+
+
= − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝐼 + 𝛽 𝐼𝑆 − − 𝜇𝐼 + + 𝜇𝐼 = −𝜇𝐼
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜆
𝜆
Ce qui correspond à la diminution de la population totale P par décès D.

Une personne saine va transmettre statistiquement le virus à R0 personnes (typiquement 2,5) (1) ;
R0 est le « basic reproductive number » (6).

4
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

R0 se définit par :
𝑅0 = 𝐶 𝑥 𝑃 𝑥 𝐷
c’est-à-dire le nombre de contacts par jour de cette personne x Probabilité de transmettre le virus à
chaque contact x la durée d’infectiosité de la personne.
Application numérique en non-confinement : D = 10 jours, P = 0,5%, C = 50 contacts par jour, R0 =
2,5 ; c’est ce qui a été observé en Chine (6).
Application numérique en confinement : D = 10 jours, P = 0,5%, C = 5 contacts par jour, R0 = 0.25 . (6)

Si on définit T0 comme étant le taux de croissance du nombre d’infectés correspondant au
coefficient de contamination R0, la relation entre T0 et R0 s’exprime de la façon suivante :
𝑑𝑅0(𝑡)
= 𝐶0 𝑥 𝑃0 = 𝑇0
𝑑𝑡
T0 est le taux de croissance journalier dû aux nouvelles infections. T0 est une grandeur permettant
facilement la programmation et la simulation numérique.
Application numérique : 50 contacts x 0,5% = 0,25 soit T0 = 25% de croissance du nombre d’infectés
par jour.
La croissance de la population infectée, au début de la courbe sans prendre en compte l’effet
immunisation peut s’exprimer de la façons simple suivante :
I1 = I0 (1+T0) : Infectés au jour 1 = infectés au jour 0 augmentés du taux de nouveaux infectés
De façon algorithmique, cela s’exprime par : : I1 = I0 x (1,25)
𝐼(1𝑡 + 1) = 𝐼(𝑡)𝑥 𝑇0
En se référant à l’équation vue plus haut, il est possible de calculer la relation entre T0 et β :
𝑑𝐼(𝑡)
= 𝛽 𝐼 𝑆 = 𝐼(1 + 𝑇0)
𝑑𝑡
Donc
𝛽=

(1 + 𝑇0)
𝑆

Application numérique : T0 = 0.25 hors confinement, S = 60 Millions, β = 2.08 x 10 -8

Il aurait été possible de normer β à la population afin d‘éviter de manipuler l’ordre de grandeur de β ;
j’ai préféré l’autre méthode équivalente utilisant T0 appliqué à I.

3.2 Introduction du principe de confinement et de palier
5
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

J’ai repris le modèle proposé et y ai rajouté quelques compléments :
-

J’ai introduit la réduction du taux de transmission du virus (Re) en phase de confinement,
avec (voir le graphe au §3.3 page suivante) :

o

Un taux de détection αprenant en compte le fait que seule une partie de la
population infectée est détectée et comptabilisée (Id), qu’une autre large partie n’est
pas documentée (Iu),
avec I = Id + Iu, et avec Id = α x I ;

o

Un taux maximum de la population pouvant être infectée et immunisée avant
extinction de la propagation naturelle du virus :
Pi = γ P

o

Pour initialiser le modèle SIR, j’ai repéré sur les suites de cas réels, pays par pays, la
date D0 à laquelle l’exponentielle « décollait » avec Id ~5-10 cas reportés ;

o

J’ai identifié la date Dc de début de confinement choisie pays par pays, comme étant
le nombre de jours sans confinement Tnc rajoutés à la date D0 ci-dessus ;
Dc= D0 + Tnc

o

J’ai introduit un délai de réponse du confinement Tr matérialisant le temps de sa
mise en place et le temps nécessaire au changement de pratique des humains
concernés ; ce qui permet de définir la date D1 à partir de laquelle le R0 diminue :
D1 = DC + Tr

o

Un temps de passage progressif du mode non confiné au mode confiné au cours
duquel Re passe de R0 à Rc (pente décroissante linéairement à partir de la date D1
de début du confinement jusqu’à la date D1c au bout du temps Tcc) ;
D1C = D1 + Tcc : D1C est la date à laquelle pendant le confinement, le taux de
croissance de l’épidémie est devenu égal = Tc
et
D2 = D1 + Tc : D2 est la date de fin du confinement et de passage à l’étape « palier »

o

Le taux de croissance initial du modèle est T0 correspondant à R0, puis devient Tc en
confinement correspondant à Rc

o

J’ai introduit une « phase de palier » à la suite de la période de confinement au cours
de laquelle la maladie est supposée vaincue mais avec un risque résiduel de quelques
cas pouvant créer un effet rebond. Cela permet de modéliser ce risque en cas de
confinement de durée insuffisante.
On définit donc D2= D2 = D1 + Tc :, et avec Tp = durée du palier ; et D3 = date de fin
du palier :
D3 = D2 + Tp

3.3 Gestion de l’évolution de Re ou de Tau_ selon la phase de l’épidémie
6
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Afin de modéliser les importantes variations des taux de contamination, j’ai été conduit à distinguer
5 phases successives, illustrées sur le graphe ci-dessous :
-

La phase de pré-épidémie ;
La phase épidémique de croissance initiale ;
La phase de confinement, elle-même divisée en sous phases ;
La phase de palier, correspondant à la sortie d’épidémie ;
La phase post-épidémique.

7
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

3.4 Introduction des flux : hospitalisations, réanimations, guérison ou décès
Le modèle (11) prévoit les flux suivants :

J’ai choisi de résoudre le système suivant, tenant compte du processus d’hospitalisation et de
réanimation :
-

-

-

-

Les Infectés se divisent entre les Infectés « officiels » Id « documented ») et les autres
« undocumented » Iu. Le taux de documentés est appelé α (voir 7). Noter que Id + Iu = I, total
des Infectés.
Les Iu sont supposés bénins et guérir.
Les Id se divisent entre ceux qui seront hospitalisés (variable d’état H, ratio h) et ceux qui
seront bénins, malades à leur domicile et guériront (ratio 1-h).
Les H hospitalisés se divisent entre ceux qui auront besoin d’aller en soins intensifs avec
respirateurs (variable d’état ICU_r, ratio r), et ceux qui seront sous observation pendant un
temps Tb avant de guérir.
Les patients en demandent de réanimation ICU_r se divisent entre ceux qui auront accès à un
ICU (variable d’état ICU_e) et ceux qui n’y auront pas accès par pénurie de moyens (si ICU_r >
ICUmax). Ces malheureux patients sont supposés décéder par manque d’ICU.
Les patients ayant eu accès à un ICU se divisent à leur tour entre ceux qui décèdent (ratio d)
et ceux qui guérissent (ratio (1-d)).

Le schéma ci-dessous présente l’arbre de flux :

8
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Pour faire le lien avec les équations du modèle SIR vues en § 3.1 :
1
𝜆

= 𝛼 (1 − ℎ) + ℎ(1 − 𝑟) + ℎ 𝑟 (1 − 𝑑)

𝜇 = 𝛼 ℎ 𝑟 𝑑 ramené à la population totale y compris les non dépistés
𝜇 = ℎ 𝑟 𝑑 ramené à la population dépistée)

Application numérique avec des valeurs type :
-

1/λ = 0,2 (1-0,4) + 0,4(1-0,3) + 0,4 x 0,3 x (1-0,15) = 0.5 soit λ =2
µ = 0,2 x 0,4 x 0,30 x 0,15 = 0.27% de la population totale, ou 1.35% de la population dépistée

9
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

4

METHODE ET OUTIL DE MODELISATION

La modélisation a été effectuée en utilisant le logiciel QUANTRIX, qui est un tableur
multidimensionnel connecté.
Deux dimensions ont été définies dans le cube :
-

Le temps sous forme d’une série de date (time-series)
Les pays analysés.

Les données mesurées ou calculées sont des items (au sens du vocabulaire QUANTRIX) dans cet
espace.
L’outil est à la fois utilisé d’une part en tant que BI (Business Intelligence) permettant de visualiser les
données journalières « Time Series » provenant de source officielle (9), et d’autre part en outil de
modélisation numérique gérant la récursivité.
Une matrice d’hypothèses a été définie par pays, et contient les variables du modèle et leurs
ajustements reflétant la dynamique de la maladie propre à chaque pays.
Comme on le voit ci-dessous, le modèle utilise 126 formules, calcule 72456 cellules, et importe
120 446 cellules en provenance des bases de données officielles.

On voit au passage la puissance de cet outil qui gère près de 200 000 cellules de données avec
seulement 126 formules de calcul ; c’est ce qui rend cet outil QUANTRIX remarquable.
Exemple de jeu de paramètres pour le France page suivante :

10
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

11
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Une matrice dynamique représentant les flux entre compartiments effectue les calculs vus plus haut
en s’appuyant sur ces hypothèses. Un extrait de la matrice ci-dessous :

Cette suite numérique permet d’enregistrer les données officielles importées, et de les mettre en
regard des données calculées pour les mêmes grandeurs (Iu, D). Le modèle calcule également les
autres compartiments (H, ICU_r, R).

12
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

5 REGLAGES DU MODELE
5.1 VISUALISATION DES DONNEES OFFICIELLES
Une visualisation brute des Id (Infectés documentés Confirmés) hors Chine donne :

La France suit la courbe de l’Italie avec un décalage de 8 jours.
L Espagne suit l’Italie avec un retard de 11 jours.
L’Allemagne suit l’Italie avec un retard de 9 ours.
UK suit l’Italie avec un retard de 15 jours.
Visualisation en logarithmique :

13
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Les pentes de croissance en vision logarithmique sont identiques (parallèles) entre les pays
Européens : la dynamique de propagation est similaire, avec des décalages dans le début de
l’épisode.

Dans les paragraphes suivants, apparait la visualisation comparée des données officielles importées,
et des données générées par le modèle pour deux grandeurs :
-

Id (les infectés documentés)
D (les morts liés à cette épidémie.

Ces visualisations ont permis de régler les variables du modèle, pays par pays.
Les paragraphes suivants montrent le résultat de ces réglages de façon visuelle. Les jeux
d’hypothèses correspondant apparaissent dans le chapitre « jeux de paramètre solution ».
L’objectif a été de se déterminer les réglages permettant de se rapprocher au mieux des données
officielles constatées. Le lecteur peut apprécier visuellement la fiabilité du modèle dans cette phase
passée en comparant les courbes « calculées » et les courbes « constatées ».
eux exemples sont donnés ici :
-

La Chine qui est un modèle typique de confinement strict,
La France qui est un modèle typique de confinement tardif et moins strict.

Le détail des autres pays est disponible en annexe.

14
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

5.2 Pays précurseur : la Chine
Visualisation du nombre de cas Id :

Visualisation des décès D :

Résultat 1 : le modèle peut s’approcher de la réalité constatée dans des pays ayant réussi à juguler
la pandémie par des mesures non médicales.
.

15
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

5.3 Modélisation France
Visualisation du nombre de cas Id :

Visualisation des décès D :

16
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Le nombre de personnes hospitalisées (H) , en réanimations ( R ) et décédées (D) est suivi durant la
période de croissance actuelle, et comparé aux résultats du modèle. La marge d’erreur actuelle est
inférieure à 10%.
Résultat 2 : Le modèle peut être ajusté au processus de santé spécifique à une pandémie de type
COVID-19 (flux infectés / hospitalisés / réanimés/ Remis ou décédés), et permet de prévoir
l’ampleur de la demande de soins sur le système de santé ;

Le graphique ci-dessous montre le résultat du modèle pour la France concernant les grandeurs
suivantes :
-

Id le nombre d’infectés documentés
H le nombre de personnes hospitalisées à l’instant t
ICU_r le nombre d’ICU’s nécessaires à l’instant t, à mettre en regard du nombre d’ICU’s
disponibles dans le pays (~7500).

D’après ce modèle (résultats à prendre avec précautions), le pic des hospitalisations serait le 3 avril
avec 29000 personnes hospitalisées, dont 9000 en soins intensifs. Un total de 17 500 pourraient
décéder.
Un zoom sur le pic facilite la lecture :

17
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

L’imprécision du modèle , et le manque de visibilité sur l’évolution du nombre d’ICU’s disponibles
selon la date (5000 initialement, 50000 annoncés fin avril) ne permet pas de dire si le seuil du
nombre d’ICU’s disponibles sera atteint ou dépassé, et ce facteur a un très fort impact sur le nombre
de décès D par effet de seuil.
Si le nombre d’ICU devait augmenter à 10000 très rapidement, ‘après ce modèle, le nombre de D
diminuerait à 15 000 environ.

18
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

A l’inverse, un limitation du nombre de ICU’s à 5000 augmenterait d’après le modèle de façon
significative à ~ 40 000.

Résultat 3 : le modèle peut intégrer les effets de seuil liés à la saturation des moyens de soins (ICU’s
dans le cas de COVID-19) .

Attention : il ne s’agit pas ici d‘une prévision, mais d’une modélisation sur les effets de seuil.

19
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

6 JEUX DE PARAMETRES
Le tableau ci-dessous présente les paramètres identifiés par pays suivi.

On peut noter en particulier :
-

-

Un R0 compris entre 2,16 (cas UK) et 3,48 (US), avec une valeur moyenne pour l’Europe de
2,3 (la valeur en Chine est ici trouvée égale à 6, tandis que al littérature publiée indique 2,6) ;
Un Rc en phase de confinement autour de 0,2, soit environ 10 fois inférieur à R0 ;
Un taux d’hospitalisés « h » qui varie fortement selon les pays : de 20% à 40%, ce qui peut
s’expliquer par les différences de politiques de santé, et les différences d’équipement de
santé entre les pays ;
Un taux de létalité « d » après réanimation qui varie fortement selon les pays : de 15% pour
l’Allemagne à 60% pour l’Italie ;
Plus globalement, le modèle semble bien s’adapter aux différents pas, jusqu’à ce jour. Cela
n’est évidemment pas une garantie de fiabilité pour les jours suivants.

20
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

7 PROJECTIONS
A titre informatif et sans aucun caractère prédictif, les résultats du modèle avec ses réglages actuels
sont exposés ci-après pour un échantillon de pays.
Une grande incertitude entoure encore les politiques de confinement à venir pour les pays tels que
les US, la Suisse ; la modélisation est donc incapable de se projeter sauf à laisser l’épidémie croitre
sans frein jusqu’à des nombres élevés de victimes.

Le graphique ci-après représente pays par pays, les grandeurs suivantes : D, H, ICU_r.

Le nombre d’ICUmax par pays n’étant pas bien connu, l’impact sur le nombre de D est à prendre avec
précaution.
On peut noter la grande variabilité des projections selon l’élément clef : la valeur de Tnc à savoir le
temps de croissance de l’infection avant confinement. Les valeurs de D varient dans de très larges
proportions d’après le modèle :
-

Les « précurseurs » ne dépassent pas quelques milliers ;
Les « pays en confinement » se situent autour de la dizaine de milliers ;
Les « pays sans confinement ou à confinement tardif » dépassent plusieurs dizaines de
milliers, voire (cas des US) pourraient dépasser quelques millions, mais les trajectoires
peuvent encore sensiblement varier selon les décisions à venir (confinement, tests, efficacité
de nouveaux traitements,…).

Ces résultats sont à prendre avec beaucoup de réserves à ce stade.

21
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Tnc = 21

Tnc = 40

Tnc =38

Tnc = 8

Tnc = 50

Tnc = 38

Tnc = 38

Tnc = 34

22
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Résultat 4 : L’ampleur de la pandémie est très directement corrélée avec le délai de mise en place
de mesures sanitaires fortes, en l’absence de moyens médicaux efficaces (vaccins, traitements).

8 LIMITES DE L’EXERCICE ET POINTS D’APPROFONDISSEMENT
Ce modèle tente de représenter en la simplifiant la complexité des phénomènes en jeu ; cette
simplification peut conduire à des erreurs importantes.
En particulier, de fortes incertitudes entourent certaines hypothèses :
-

-

Le Rc en phase de confinement, qui varie selon la taille moyenne des foyers confinés, la
surface disponible par lieu de confinement et donc la probabilité P de transmission interconfinés, l’isolation en amont des personnes infectées en dehors des foyers, etc… ;
Le taux α de détection qui dépend de la politique de chaque pays en matière de tests ;
Le taux d’hospitalisation (h) et de réanimation (r ) par pays, données qui ne sont pas
accessibles facilement et régulièrement pays par pays ;
Le nombre d’ICU’s disponibles par pays, donnée peu publiée ;

Chacun de ces sujets serait à approfondir par une étude spécifique.
Il est probable que « a posteriori » il sera possible d’affiner le modèle par observation des trajectoires
constatées des différentes grandeurs, et d’en tirer des enseignements pour d’autres futures
pandémies. Le caractère prédictif fiable d’un tel modèle reste très incertain dans l’immédiat ; il ne
peut donner que des ordres de grandeur ou des tendances.
L’aspect médical du traitement de la maladie n’est pas pris en compte dans cette modélisation :
apparition d’un traitement, apparition d’un vaccin, … , tandis que l’on peut espérer qu’une avancé
médicale radicale puisse remettre en cause ces modèles et diminuer l’impact de la maladie.

23
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

9 REFERENCES
Je me suis inspiré des articles suivants :
(1) Tomas PUIEYO : https://medium.com/@tomaspueyo/coronavirus-the-hammer-and-thedance-be9337092b56
(2) Zunyou WU & Jennifer McGoogan : Characteristics of and Important Lessons From the
Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) Outbreak in China
https://jamanetwork.com/journals/jama/fullarticle/2762130
(3) https://jamanetwork.com/journals/jama/pages/coronavirus-alert#epidemiology
(4) https://www.thelancet.com/coronavirus?hss_channel=tw-27013292
(5) Real estimates of mortality following COVID-19 infection
https://www.thelancet.com/journals/laninf/article/PIIS1473-3099(20)30195-X/fulltext
(6) Nowcasting and forecasting the potential domestic and international spread of the 2019nCoV outbreak originating in Wuhan, China: a modelling study
https://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(20)30260-9/fulltext
(7) Substantial undocumented infection facilitates the rapid dissemination of novel coronavirus
(SARS-CoV2)
https://science.sciencemag.org/content/early/2020/03/24/science.abb3221.full
https://science.sciencemag.org/content/sci/suppl/2020/03/13/science.abb3221.DC1/abb32
21_Li_SM.pdf
(8) The psychological impact of quarantine and how to reduce it: rapid review of the evidence
https://www.thelancet.com/journals/lancet/article/PIIS0140-6736(20)30460-8/fulltext
(9) La source de données brutes utilisée pour ma modélisation
https://github.com/CSSEGISandData/COVID-19
https://virusncov.com/
(10) Une visualisation des données brutes:
https://data.humdata.org/dataset/novel-coronavirus-2019-ncov-cases#
https://public.tableau.com/profile/covid.19.data.resource.hub#!/vizhome/COVID19Cases_15840488375320/COVID-19Cases
(11) Modéliser la propagation d’une épidémie par F Rechenmann
https://interstices.info/modeliser-la-propagation-dune-epidemie/

10 ANNEXES
Pour ceux que cela intéresse ou qui pourront chercher les erreurs résiduelles dans le modèle, je livre
ici la totalité des calculs mis en œuvre.

Calculs associés à la matrice « Hypothèses country » :

24
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

25
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

Calculs associés à la matrice des flux :

26
Une tentative de modélisation de la pandémie COVID-19 avec QUANTRIX – F. Caussarieu -

1.

Confirmed=Data Import Matrix::Status using Data Import Matrix::Country AS
Country , Data Import Matrix::Status as Items

2. Delta C_calculated:DATE[THIS]='Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]- 'Infected_calculated_documented ( Id)'
:DATE[PREV] skip
DATE[FIRST], DATE[LAST]
3. Deaths= Data Import Matrix::Status USING Data Import Matrix::Country AS
Country, Data Import Matrix::Status as Items
4. 'Delta_Deaths_confirmed(t)':DATE[THIS]=if(Deaths>0;Deaths:DATE[THIS]-Deaths:DATE
[PREV];0)
5. Month=month(datevalue(@DATE))
6. Day= day(datevalue(@DATE))
7. DATE2=datevalue(@DATE)
8. Coef croissance=and(if(DATE2>=Hypothèses country::Date Start
D0,1,0),if(DATE2<=Hypothèses country::Date D1 fin UP,1,0))
9. Coef confinement=if(AND(DATE2>Hypothèses country::Date D1 fin UP+Hypothèses
country::Durée de la transition croissance vers confinement
Tcc;DATE2<=(Hypothèses country::Date début palier D2));1;0)
10. Coef palier= and(DATE2>Hypothèses country::Date début palier
D2,DATE2<Hypothèses country::Date fin palier D3)
11. Coef transition croissance vers confinement=if(and(DATE2>Hypothèses
country::Date D1 fin UP,DATE2<=Hypothèses country::Date D1 fin UP+Hypothèses
country::Durée de la transition croissance vers confinement Tcc),1,0)
12. Taux de croissance=Coef croissance*Hypothèses country::Taux de croissance
Tau_1+Coef palier*Hypothèses country::Taux de croissance Tau_P en palier+Coef
transition croissance vers confinement*(Hypothèses country::Taux de croissance
Tau_1+Hypothèses country::Pente de la transition croissance vers
confinement*(DATE2-Hypothèses country::Date D1 fin UP))+Coef
confinement*Hypothèses country::Taux de croissance Tau_C confinement D1c à D2
13. France:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=France:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+France:Taux de croissance*France:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::France:Population max infectable et
détectable Pi) skip '11/02/2020' /* France seulement */
14. Italy:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=Italy:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+Italy:Taux de croissance*Italy:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::Italy:Population max infectable et
détectable Pi) skip '01/02/2020' /* Italy seulement */
15. China:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=China:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+China:Taux de croissance*China:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::China:Population max infectable et
détectable Pi) skip '23/01/2020' /* Chine seulement */

16. Germany:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=Germany:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+Germany:Taux de croissance*Germany:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::Germany:Population max infectable et
détectable Pi) skip '10/02/2020' /* Germany
seulement */
17. US:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=US:'Infected_calculated_documented ( Id)'
:DATE[PREV]*(1+US:Taux
de croissance*US:'Not_infected Susceptible (S)'
:DATE[PREV]/Hypothèses
country::US:Population max infectable et détectable Pi) skip '05/02/2020' /*
US seulement */
18. Spain:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=Spain:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+Spain:Taux de croissance*Spain:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::Spain:Population max infectable et
détectable Pi) skip '05/02/2020' /* Spain
seulement */
19. United Kingdom:'Infected_calculated_documented ( Id)'
:DATE[THIS]=United
Kingdom:'Infected_calculated_documented ( Id)'
:DATE[PREV]*(1+United
Kingdom:Taux de croissance*United Kingdom:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::United Kingdom:Population max infectable et
détectable Pi) skip '12/02/2020' /* UK seulement */
20. 'Korea, South':'Infected_calculated_documented ( Id)'
:DATE[THIS]='Korea,
South':'Infected_calculated_documented ( Id)'
:DATE[PREV]*(1+'Korea, South':Taux
de croissance*'Korea, South':'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::'Korea, South':Population max infectable et
détectable Pi) skip '01/02/2020' /* Chine seulement */
21. Switzerland:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=Switzerland:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+Switzerland:Taux de croissance*Switzerland:'Not_infected
Susceptible (S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::Switzerland:Population max
infectable et détectable Pi) skip '25/02/2020' /* Switzerland seulement */
22. Iran:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[THIS]=Iran:'Infected_calculated_documented (
Id)':DATE[PREV]*(1+Iran:Taux de croissance*Iran:'Not_infected Susceptible
(S)':DATE[PREV]/Hypothèses country::Iran:Country population) skip '21/02/2020'
/* Iran seulement */
23. 'Not_infected Susceptible (S)'=Hypothèses country::Population max infectable et
détectable Pi-'Infected_calculated_documented ( Id)'
-Cumul de morts calculé D
24. Temps depuis la 1ère infection= if(DATE2-Hypothèses country::Country:Infection
0>=0, DATE2-Hypothèses country::Country:Infection 0,0)
25. delta C asymptomatiques = Delta C_calculated*Hypothèses country::a
asymptomatiques
26. delta C

a après Ta:DATE[THIS]=delta C

asymptomatiques:DATE[THIS] /* Ta = 1 */

27. delta C bénins = Delta C_calculated*Hypothèses country::b malades bénins
28. delta C b guéris après Tb:DATE[THIS]=delta C bénins:DATE[PREV+1] /* Tb = 0 */

29. delta C h hospitalisés = Delta C_calculated*Hypothèses country::h hospitalisés
30. delta C h hospitalisés non ICU guéris après Tb:DATE[THIS] = delta C h
hospitalisés après Tb:DATE[PREV-9]*Hypothèses country::g hospitalisés non ICU
guéris
31. delta C h hospitalisés après Tb:DATE[THIS]=delta C h hospitalisés:DATE[THIS]
32. delta c nécessitant un ICU:DATE[THIS] = delta C h hospitalisés après
Tb:DATE[PREV-1]*Hypothèses country::r hospitalisés nécessitant un ICU
33. delta C r guéris après ICU après Tb:DATE[THIS]=delta c nécessitant un
ICU:DATE[PREV-9]*Hypothèses country::ICUe guéris après ICU
34. delta C r morts après ICU après Tb:DATE[THIS]=delta c nécessitant un
ICU:DATE[PREV-2]*Hypothèses country::d réanimés ICU décédés
35. delta R all recovered=delta C a après Ta+delta C b guéris après Tb+delta C h
hospitalisés non ICU guéris après Tb+delta C r guéris après ICU après Tb
36. delta C morts par manque de ICU=if(ICU_r ICU_required-ICU disponibles>0,ICU_r
ICU_required-ICU disponibles,0)
37. Sigma delta C Out = delta R all recovered+delta C r morts après ICU
Tb+delta C morts par manque de ICU
38. 'delta C

après

- Delta C Out' = Delta C_calculated-Sigma delta C Out

39. 'Delta_Confirmed(t)':DATE[THIS]=if(Confirmed>0;Confirmed:DATE[THIS]-Confirmed:DA
TE[PREV];0)
40. Stocks.Stock malades:DATE[THIS]=Stocks.Stock malades:DATE[PREV]+Delta
C_calculated:DATE[THIS]-delta C a après Ta-delta C b guéris après
Tb:DATE[THIS]-delta C h hospitalisés non ICU guéris après Tb:DATE[THIS]-delta
C r guéris après ICU après Tb:DATE[THIS]-delta C r morts après ICU après
Tb:DATE[THIS]
41. Cumul de morts calculé D:DATE[THIS]=Cumul de morts calculé D:DATE[PREV]+delta C
r morts après ICU après Tb:DATE[THIS]+delta C morts par manque de
ICU:DATE[THIS]
42. 'delta D (t)' = delta C morts par manque de ICU+delta C r morts après ICU
après Tb
43. H hospitalisés H:DATE[THIS]=H hospitalisés H:DATE[PREV]+delta C h hospitalisés
après Tb:DATE[THIS]-delta C h hospitalisés non ICU guéris après
Tb:DATE[THIS]-delta C r guéris après ICU après Tb:DATE[THIS]-delta C r morts
après ICU après Tb:DATE[THIS]
44. Start Date D0 = Hypothèses country::Date Start D0
45. Pcg of population infected = 'Infected_calculated_documented ( Id)'
/Hypothèses
country::Country population
46. ICU disponibles = Hypothèses country::Number of ICUs

47. ICU_r ICU_required:DATE[THIS]=max(ICU_r ICU_required:DATE[PREV]+delta c
nécessitant un ICU-delta C r guéris après ICU après Tb-delta C r morts après
ICU après Tb,0)
48. Modèle SIR.Stock Malades:DATE[THIS]=Modèle SIR.Stock Malades:DATE[PREV]+Modèle
SIR.Stock Malades:DATE[PREV]*(Hypothèses country::Taux de diffusion R0 pour
SIR/Hypothèses country::Tb temps de guérison b)*Stock
Sains:DATE[PREV]/Hypothèses country::Country population-Modèle SIR.Stock
Malades:DATE[PREV]/Hypothèses country::Tb temps de guérison b-Modèle SIR.Stock
Malades:DATE[PREV]*Hypothèses country::Taux de létalité pour SIR/Hypothèses
country::Tb temps de guérison b skip '24/02/2020'
49. Stock Guéris:DATE[THIS]=Stock Guéris:DATE[PREV]+Modèle SIR.Stock
Malades:DATE[PREV]/Hypothèses country::Tb temps de guérison b skip '24/02/2020'
50. Stock Morts:DATE[THIS]=Stock Morts:DATE[PREV]+Modèle SIR.Stock
Malades:DATE[PREV]*Hypothèses country::Taux de létalité pour SIR/Hypothèses
country::Tb temps de guérison b skip '24/02/2020'
51. Stock Infectés=Stock Guéris+Stock Morts
52. Stock Sains=Hypothèses country::Country population-Modèle SIR.Stock
Malades-Stock Guéris-Stock Morts
53. 'Infected_calculated_Undocumented (Iu)'
:Country =
'Infected_calculated_documented ( Id)'
:Country*(1-Hypothèses country::Alpha
Taux de détection)/(Hypothèses country::Alpha Taux de détection)
54. 'I= Ic + Id Total_infected_calculated'= 'Infected_calculated_documented (
Id)'+'Infected_calculated_Undocumented (Iu)'
55. 'Taux de létalité ramené à Ic+Id' = Cumul de morts calculé D/'I= Ic + Id
Total_infected_calculated'
56. Taux de létalité ramené à la population totale = Cumul de morts calculé
D/Hypothèses country::Country population
57. ICU_e Nb of patients equiped with ICU = min(ICU disponibles,ICU_r ICU_required)




Télécharger le fichier (PDF)

Une modélisation de la pandémie COVID-19.pdf (PDF, 1.1 Mo)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP